Zykloidenpendel

Die Brachistochrone

Simulation des Bewegungsablaufs ?

\(\(simulation[sinusα_] := 
      Block[
		{Δy = 0.1, y = .002, x = .001, y1 = 14, 

          			sinα, tanα, v, bahn, g = 9.81}, 
		
        v[y_] := Sqrt[2\ g\ y]; 
		
        tanα := sinα/Sqrt[1 - sinα^2]; 
		
        sinα = sinusα; 
		bahn = {{x, \(-y\)}}; 
		
        While[y < y1, 
			
          sinα = sinα\ v[y + Δy]/v[y]; 
			
          x = x + Δy\ tanα; 
			
          y = y + Δy; 
			AppendTo[bahn, {x, \(-y\)}]]; 
	
        Graphics[Line[bahn], Axes -> True, DisplayFunction -> Identity]]; 
    \)\)

Show[{simulation[0.001], simulation[0.002]}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction];

Ein numerisches Beispiel

lösung = 
      FindRoot[{r (φ - Sin[φ]) == 12, 
          r (-1 + Cos[φ]) == -14}, {r, 10}, {
          φ, 1}]

{r, φ} = {r, φ} /. lösung

\(brachistochrone
       = {\(y'\)[x]\ \@y[x] == \@\(c - y[x]\), y[0] == 0.0001} /. c -> 2  r; 
    
y = y /. NDSolve[brachistochrone, y, {x, 0, 12}] // First; \)

\(\(Plot[\(-y[x]\) // Evaluate, {x, 0, 12}, 
	
      Ticks -> {{4, 8, 12}, {\(-7\), \(-14\)}}]; \)\)

\(\(DisplayTogether[
      ParametricPlot[r {t - Sin[t], \(-1\) + Cos[t]}, {t, 0, φ}, 

        			PlotStyle -> Hue[.9]], 
		Plot[\(-y[x]\), {x, 0, 12}], 
	
      Ticks -> {{4, 8, 12}, {\(-7\), \(-14\)}}]; \)\)

Clear[r, φ, c, y]

Die Zykloide

Die Zykloide als Rollkurve

z[t_, r_:  1] := r {t - Sin[t], -1 + Cos[t]};

Länge eines Zykloidenstücks

Plus@@(z'[t]^2)

TrigFactor[%]

2 r (∫_0^φ) Sin[(t/2)] \[DifferentialD]t // 
      Factor

Die Isochrone

Ein Pendel mit konstanter Schwingungsdauer

simulation

\(T = 2  π\ Sqrt[1/9.81]; 

    φA = 
	
      z /. \(NDSolve[{4  D[Cos[z[t]/2], {t, 2}] + 9.81  Cos[z[t]/2] == 0, 
              \(z'\)[0] == 0, z[0] == 1}, z, {t, 0, T}]\)[\([1]\)]; 

    φB = 
	
      z /. \(NDSolve[{4  D[Cos[z[t]/2], {t, 2}] + 9.81  Cos[z[t]/2] == 0, 
              \(z'\)[0] == 0, z[0] == 1.7}, z, {t, 0, T}]\)[\([1]\)]; \)

kug[φ_] := {PointSize[0.05], 
        Point[{φ - Sin[φ], -1 + Cos[φ]}]}\(faden[φ_] := {
        Line[{{φ - Sin[φ], \(-1\) + Cos[φ]}, {
              φ + Sin[φ], 1 - Cos[φ]}}], 
		
        \(ParametricPlot[{t + Sin[t], 1 - Cos[t]}, {t, φ, π}, 
            DisplayFunction -> Identity]\)[\([1, 1, 1]\)]}\)backen = 
      ParametricPlot[{t + Sin[t], 1 - Cos[t]}, {t, 1, 2  π - 1}, 
          PlotStyle -> Hue[0.9], DisplayFunction -> Identity][[1]];

\(\(bild[t_] := 
      Graphics[Flatten[

          			{backen, GrayLevel[0], faden[φA[t]], 
            faden[φB[t]], 
				kug[φA[t]], 
            GrayLevel[0.4], kug[φB[t]]}], 
        PlotRange -> {{0, 2  π}, {\(-2.5\), 2}}, 
		
        AspectRatio -> 4.5/\((2  π)\)]; \)\)

\(sequenz = Table[bild[t], {t, 0, T, T/25}]; 

    pendel = Flatten[{sequenz, Reverse[sequenz]}]; \)

<< Graphics`Animation`

ShowAnimation[pendel]

nochmals die Brachistochrone

\(lösung = 
      FindRoot[

        		{r \((φ - Sin[φ])\) == 12, 
			
          r \((\(-1\) + Cos[φ])\) == \(-14\)}, {r, 10}, {
          φ, 1}]\)

r = r /. lösung; g = 9.81; ω = 0.5 (Sqrt[ (g/r)]);

FindRoot[-14 == -2 r Cos[ω t]^2, {t, 1}]

aufgabe

Simuliere das Fallen eines Punktes von A nach B auf der Brachistochrone. Es soll gleichzeitig ein anderer Punkt auf der schiefen Ebene von A nach B gelangen. A habe die Koordinaten (0 | 0), B die Koordinaten (π | 2).